μηδεις αγεωμετρητος εισιτω
Δημοφιλείς αναρτήσεις από αυτό το ιστολόγιο
Γενίκευση του Πυθαγορείου Θεωρήματος
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα μπορεί εύκολα να γενικευτεί για κάθε τρίγωνο, όχι μόνο ορθογώνιο, αλλά με κάποιο κόστος : στο δεξιό μέλος της γνωστής εξίσωσης που εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα πρέπει να προσθέσουμε έναν διορθωτικό όρο που περιλαμβάνει το συνημίτονο, γνωστό ως και Νόμο των Συνημιτόνων. Η μη τριγωνομετρική μορφή του εν λόγω νόμου ήταν ήδη γνωστή στον Ευκλείδη. Στην πραγματικότητα εμφανίζεται στο βιβλίο ΙΙ των Στοιχείων ως Πρόταση 12 και 13, τις οποίες συνδυάζουμε εδώ σε αυτόν τον ισχυρισμό : Σε κάθε τρίγωνο το τετράγωνο της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία (ή οξεία) γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των προσκείμενων πλευρών συν (πλην) το διπλάσιο γινόμενο μιας εκ των προσκείμενων πλευρών επί την προβολή της άλλης προσκείμενης πάνω σε αυτή. Από το βιβλίο Ευκλείδεια Γεωμετρία της Β' Λυκείου : παράγραφος 9.4 μικροπείραμα
ΣΤΟΙΧΕΙΑ του ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΒΙΒΛΙΟ Ι ΠΡΟΤΑΣΗ 47 ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Πρότασις μζ΄ [47] Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾿ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾿ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα· κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴ...
Σχόλια
Δημοσίευση σχολίου